Проценты в математике. Задачи на проценты.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Проценты в математике.
Что такое проценты в математике ? Как решать задачи на проценты ? Эти вопросы всплывают, увы, внезапно… Когда выпускник читает задание ЕГЭ. И ставят его в тупик. А зря. Это очень простые понятия.
Единственно, что нужно запомнить железно – что такое один процент . Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.
Один процент – это одна сотая часть какого-то числа . И всё. Нет больше никаких мудростей.
Резонный вопрос – а сотая часть какого числа ? А вот того числа, о котором идёт речь в задании. Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. И так далее. Понятно, что само число, о котором идёт речь, составляет всегда 100%. А если нет самого числа, то и проценты смысла не имеют…
Другое дело, что в сложных задачах само число так запрячут, что и не найдёшь. Но мы на сложное пока не замахиваемся. Разбираемся с процентами в математике .
Я не зря акцентирую слова один процент, одна сотая . Запомнив, что такое один процент , вы легко найдёте и два процента, и тридцать четыре, и семнадцать, и сто двадцать шесть! Сколько надо, столько и найдёте.
А это, между прочим, основное умение для решения задач на проценты.
Попробуем?
Давайте найдём 3% от 400. Сначала найдём один процент . Это будет одна сотая, т.е. 400/100 = 4. Один процент – это 4. А нам сколько процентов надо? Три. Вот и умножаем 4 на три. Получим 12. Всё. Три процента от 400 – это 12.
5% от 20 это будет 20 поделить на 100 (одна сотая – 1%), и умножить на пять (5%):
5% от 20 это будет 1. Всё.
Проще некуда. Давайте-ка быстро, пока не забылось, потренируемся!
Найдите, сколько будет:
5% от 200 рублей.
8% от 350 километров.
120% от 10 литров.
15% от 60 градусов.
4% отличников от 25 учащихся.
10% двоечников из 20 человек.
Ответы (в полном беспорядке): 9, 10, 2, 1, 28, 12.
Эти числа – количество рублей, градусов, учеников и т.д. Я не написал, сколько чего, чтобы решать интересней было…
А если нам нужно записать х% от какого-то числа, например, от 50? Да всё то же самое. Один процент от 50 – это сколько? Правильно, 50/100 = 0,5. А у нас этих процентов – х . Ну и умножим 0,5 на х ! Получим, что х% от 50 это – 0,5х.
Надеюсь, что такое проценты в математике вы уяснили. И легко сможете найти любое количество процентов от любого числа. Это просто. Вам сейчас по силам примерно 60% от всех задач на проценты! Уже больше половины. Ну что, добиваем оставшееся? Ладно, как скажете!
В задачах на проценты частенько встречаются обратная ситуация. Нам дают величины (какие угодно), а надо найти проценты . Освоим и этот нехитрый процесс.
3 человека из 120 – это сколько процентов? Не знаете? Ну, тогда, пусть это будет х процентов.
Вычислим х% от 120 человек. В человеках. Это мы умеем. 120 делим на 100 (вычисляем 1%) и умножаем на х (вычисляем х% ). Получаем 1,2х .
Осмыслим результат.
х процентов от 120 человек, это 1,2х человек . А таких человек у нас три. Остаётся приравнять:
Вспоминаем, что за икс мы брали количество процентов. Значит 3 человека от 120 человек – это 2,5%.
Вот и всё.
Можно и по-другому. Обойтись простой смекалкой, безо всяких уравнений. Соображаем, во сколько раз 3 человека меньше 120? Делим 120 на 3 и получаем 40. Значит, 3 меньше 120 в 40 раз.
Искомое количество людей в процентах будет во столько же раз меньше 100%. Ведь 120 человек – это и есть 100%. Делим 100 на 40, 100/40 = 2,5
Вот и всё. Получили 2,5%.
Есть ещё способ пропорций, но это, в сущности, то же самое в сокращенном варианте. Все эти способы – правильные. Как вам удобнее, привычнее, понятнее – так и считайте.
Опять тренируемся.
Посчитайте, сколько процентов составляют:
3 человека из 12.
10 рублей от 800.
4 учебника из 160 книг.
24 правильных ответа на 32 вопроса.
2 угаданных ответа на 32 вопроса.
9 попаданий из 10 выстрелов.
Ответы (в беспорядке): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.
В процессе вычислений вы вполне можете столкнуться с дробями. В том числе и неудобными, типа 1,333333… А кто вам велел калькулятором пользоваться? Сами? Не надо. Считайте без калькулятора , как написано в теме «Дроби». Проценты всякие бывают…
Вот мы и освоили переход от величин к процентам и обратно. Можно браться за задачки.
Задачи на проценты.
В ЕГЭ задачи на проценты очень популярны. От самых простых до сложных. В этом разделе мы работаем с простыми задачами. В простых задачах, как правило, нужно перейти от процентов к тем величинам, о которых идёт речь в задаче. К рублям, килограммам, секундам, метрам, и так далее. Или наоборот. Это мы уже умеем. После этого задача становится понятной и легко решается. Не верите? Смотрите сами.
Пусть у нас есть такая задачка.
«Проезд на автобусе стоит 14 рублей. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку 25%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?»
Как решать? Если мы узнаем, сколько 25% в рублях – то и решать-то нечего. Отнимем скидку от исходной цены – и все дела!
Но мы уже умеем это узнавать! Сколько будет один процент от 14 рублей? Одна сотая часть. То есть 14/100 = 0,14 рубля. А таких процентов у нас 25. Вот и умножим 0,14 рубля на 25. Получим 3,5 рублей. Вот и всё. Величину скидки в рублях мы установили, остаётся узнать новую стоимость проезда:
14 – 3,5 = 10,5.
Десять с половиной рублей. Это ответ.
Как только от процентов перешли к рублям, всё стало просто и понятно. Это общий подход к решению задач на проценты.
Понятное дело, не все задачи одинаково элементарны. Есть и посложнее. Подумаешь! Мы и их сейчас порешаем. Сложность в том, что всё наоборот. Нам даны какие-то величины, а найти надо проценты. Например, такая задача:
«Раньше Вася решал правильно две задачи на проценты из двадцати. После изучения темы на одном полезном сайте, Вася стал решать правильно 16 задач из 20. На сколько процентов поумнел Вася? За стопроцентный ум считаем 20 решённых задач.»
Раз вопрос про проценты (а не рубли, килограммы, секунды и т.д.), то и переходим к процентам. Узнаем, сколько процентов Вася решал до поумнения, сколько процентов после – и дело в шляпе!
Считаем. Две задачки из 20 – это сколько процентов? 2 меньше 20 в 10 раз, правильно? Значит, количество задачек в процентах будет в 10 раз меньше, чем 100%. То есть 100/10 = 10.
10%. Да, немного решал Вася… На ЕГЭ делать нечего. Но вот он поумнел, и решает 16 задач из 20. Считаем, сколько это будет процентов? Во сколько раз 16 меньше 20? Навскидку и не скажешь… Придётся делить.
В 5/4 раза. Ну а теперь делим 100 на 5/4:
Вот. 80% это уже солидно. А главное – не предел!
Но это ещё не ответ! Читаем задачу снова, чтобы не ошибиться на ровном месте. Да, нас спрашивают, на сколько процентов поумнел Вася? Ну, это просто. 80% - 10% = 70%. На 70%.
70% - это правильный ответ.
Как видите, в простых задачках достаточно перевести заданные величины в проценты, или заданные проценты – в величины, как всё и проясняется. Ясное дело, что в задачке вполне могут быть и дополнительные навороты. Которые, часто, к процентам отношения и не имеют вовсе. Тут, главное, внимательно условие читать и по шагам, не спеша, разворачивать задачку. Об этом мы в следующей теме поговорим.
Но есть в задачах на проценты одна серьёзная засада! Многие в неё попадают, да… Выглядит эта засада вполне невинно. Например, вот такая задачка.
«Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед началом учебного года, продавец поднял цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равно не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Вот тут торговля пошла! Какова была окончательная цена тетрадки?»
Ну, как? Элементарно?
Если вы стремительно и радостно дали ответ «40 рублей!», то вы попали в засаду…
Фокус в том, что проценты всегда считаются от чего-то .
Вот и считаем. На сколько рублей продавец взвинтил цену? 25% от 40 рублей - это 10 рублей. То есть, подорожавшая тетрадка стала стоить 50 рублей. Это понятно, да?
А теперь нам надо сбросить цену на 10% от 50 рублей. От 50, а не 40! 10% от 50 рублей – это 5 рублей. Следовательно, после первого удешевления тетрадь стала стоить 45 рублей.
Считаем второе удешевление. 15% от 45 рублей (от 45, а не 40, или 50! ) – это 6,75 рубля. Стало быть, окончательная цена тетрадки:
45 – 6,75 = 38,25 рубля.
Как видите, засада заключается в том, что проценты считаются каждый раз от новой цены. От последней. Так бывает практически всегда. Если в задаче на последовательное повышение-понижение величины открытым текстом не сказано, от чего считать проценты, надо считать их от последнего значения. И то, правда. Продавец откуда знает, сколько раз эта тетрадка дорожала-дешевела до него и сколько она стоила в самом начале…
Кстати, теперь вы можете подумать, зачем в задачке про умного Васю написана последняя фраза? Вот эта: «За стопроцентный ум считаем 20 решённых задач»? Вроде и так всё ясно… Э-э-э… Как сказать. Если этой фразы не будет, Вася вполне может посчитать за 100% свои начальные успехи. То есть две решённые задачки. А 16 задач – в восемь раз больше. Т.е. 800% ! Вася сможет вполне оправданно говорить о собственном поумнении аж на 700%!
А ещё можно и 16 задач взять за 100%. И получить новый ответ. Тоже правильный…
Отсюда вывод: самое главное в задачах на проценты – чётко определить, от чего надо считать тот или иной процент.
Это, кстати, и в жизни надо. Там, где проценты используются. В магазинах, банках, на акциях всяких. А то ждёшь 70% скидки, а получаешь 7%. И не скидки, а удорожания… И всё честно, сам просчитался.
Ну вот, представление о процентах в математике вы получили. Отметим самое важное.
Практические советы:
1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу !
2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!
3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!
Решите несколько задач на проценты. Для закрепления, так сказать. В этих задачках я постарался собрать все главные трудности, которые поджидают решающих. Те грабли, на которые чаще всего наступают. Вот они:
1. Элементарная логика при анализе простых задачек.
2. Правильный выбор величины, от которой нужно считать проценты. Сколько народу споткнулось на этом! А ведь есть оч-ч-чень простое правило...
3. Проценты от процентов. Мелочь, а смущает здорово...
4. И ещё одни вилы. Связь процентов с дробями и частями. Перевод их друг в друга.
«В олимпиаде по математике принимали участие 50 человек. 68% учеников решили мало задач. 75% оставшихся решили средне, а остальные – много задач. Сколько человек решило много задач?»
Подсказка. Если у вас получаются дробные ученики – это неправильно. Читайте внимательно задачу, есть там одно важное слово… Ещё задачка:
«Вася (да-да, тот самый!) очень любит пончики с повидлом. Которые пекут в булочной, через одну остановку от дома. Стоят пончики по 15 рублей за штуку. Имея в наличии 43 рубля, Вася поехал в булочную на автобусе за 13 рублей. А в булочной шла акция «Скидка на всё – 30%!!!». Вопрос: сколько дополнительных пончиков не смог купить Вася из-за своей лени (мог бы и пешком прогуляться, правда?)»
Короткие задачки.
На сколько процентов 4 меньше 5?
На сколько процентов 5 больше 4?
Длинная задача...
Коля устраивался на несложную работу, связанную с расчётом процентов. При собеседовании начальник с хитрой улыбкой предложил Коле два варианта оплаты труда. По первому варианту Коле сразу назначалась ставка 15000 руб в месяц. По второму Коле, если он согласится, первые 2 месяца будут выплачивать пониженную на 50% зарплату. Типа, как новичку. Зато потом увеличат его пониженную зарплату аж на 80%!
Коля посещал один полезный сайт в Интернете... Поэтому, подумав шесть секунд, с лёгкой улыбкой выбрал первый вариант. Начальник улыбнулся в ответ и установил Коле постоянную зарплату в 17000 руб.
Вопрос: Сколько денег в расчёте за год (в тысячах рублей) Коля выиграл на этом собеседовании? Если сравнивать с самым неудачным вариантом? И ещё: что они всё время улыбались-то!?)
Опять короткая задачка.
Найти 20% от 50%.
И снова длинная.)
Скорый поезд №205 "Красноярск - Анапа" сделал остановку на станции "Сызрань-город". Василий и Кирилл пошли в привокзальный магазинчик за мороженым для Лены и гамбургером для себя. Когда они купили всё необходимое, уборщица магазина сообщила, что их поезд уже поехал... Василий и Кирилл быстро-быстро побежали и успели заскочить в вагон. Вопрос: успел бы в этих условиях заскочить в вагон чемпион мира по бегу?
Считаем, что в обычных условиях чемпион мира бежит на 30% быстрее Василия и Кирилла. Однако, стремление догнать вагон (он был последний), угостить Лену мороженым и съесть гамбургер, увеличило их скорость на 20%. А мороженое с гамбургером в руках чемпиона и шлёпанцы на ногах уменьшили бы его скорость на 10%...
А вот задачка без процентов... Интересно, зачем она здесь?)
Определить, сколько весит 3/4 яблока, если всё яблоко весит 200 граммов?
И последняя.
В скором поезде №205 "Красноярск - Анапа" попутчики разгадывали сканворд. Лена отгадала 2/5 всех слов, а Василий отгадал одну треть оставшихся. Затем подключился Кирилл и разгадал 30% всего сканворда! Серёжа отгадал последние 5 слов. Сколько всего слов было в сканворде? Верно ли, что Лена отгадала больше всех слов?
Ответы в традиционном беспорядке и без наименований единиц. Где пончики, где ученики, где рубли с процентами – это вы уж сами…
10; 50; да; 4; 20; нет; 54; 2; 25; 150.
Ну и как? Если всё сошлось - поздравляю! Проценты - не ваша проблема. Можно смело идти работать в банк.)
Что-то не так? Не получается? Не умеете быстро считать проценты от числа? Не знаете очень простых и понятных правил? От чего считать проценты, например? Или, как перевести дроби в проценты?
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Данный урок посвящен задачам на проценты. Мы рассмотрим несколько задач, а также затронем те моменты, которые не упоминали ранее при изучении процентов, посчитав что на первых порах они создают трудности для обучения.
Большинство задач на проценты сводятся к тому, чтобы найти процент от числá, найти число по проценту, выразить в процентах какую-либо часть, либо выразить в процентном соотношении взаимосвязь между несколькими объектами, числами, величинами.
Предварительные навыки Содержание урокаСпособы нахождения процента
Процент можно находить различными способами. Самый популярный способ — разделить число на 100 и умножить полученный результат на искомое количество процентов.
Например, чтобы найти 60% от 200 рублей, нужно сначала эти 200 рублей разделить на сто равных частей:
200 руб: 100 = 2 руб.
Когда мы делим число на 100, мы тем самым находим один процент от этого числа. Так, разделив 200 рублей на 100 частей, мы автоматически нашли 1% от двухсот рублей, то есть узнали сколько рублей прихóдится на одну часть. Как видно из примера, на одну часть (на один процент) приходится 2 рубля.
1% от 200 рублей — 2 рубля
Зная сколько рублей приходится на одну часть (на 1%), можно узнать сколько рублей приходится на две части, на три, на четыре, на пять и т.д. То есть можно найти любое количество процентов. Для этого достаточно умножить эти 2 рубля на искомое количество частей (процентов). Давайте найдём шестьдесят частей (60%)
2 руб × 60 = 120 руб.
2 руб × 5 = 10 руб.
Найдем 90%
2 руб × 90 = 180 руб.
Найдем 100%
2 руб × 100 = 200 руб.
100% это все сто частей и они составляют все 200 рублей.
Второй способ заключается в том, чтобы представить проценты в виде обыкновенной дроби и найти эту дробь от того числа, откуда требуется найти процент.
Например, найдем те же 60% от 200 рублей. Сначала предстáвим 60% в виде обыкновенной дроби. 60% это шестьдесят частей из ста, то есть шестьдесят сотых:
Теперь задание можно понимать как «найти от 200 рублей « . Это , которое мы изучали ранее. Напомним, что для нахождения дроби от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на числитель дроби
200: 100 = 2
2 × 60 = 120
Либо умножить число на дробь ():
Третий способ заключается в том, чтобы представить процент в виде десятичной дроби и умножить число на эту десятичную дробь.
Например, найдем те же 60% от 200 рублей. Для начала представляем 60% в виде дроби. 60% процентов это шестьдесят частей из ста
Выполним деление в этой дроби. Перенесем запятую в числе 60 на две цифры влево:
Теперь находим 0,60 от 200 рублей. Для нахождения десятичной дроби от числа, нужно это число умножить на десятичную дробь:
200 × 0,60 = 120 руб.
Приведенный способ нахождения процента является наиболее удобным, особенно если человек привык пользоваться калькулятором. Этот способ позволяет найти процент в одно действие.
Как правило выразить процент в десятичной дроби не составляет особого труда. Достаточно приписать «ноль целых» перед процентной долей, если процентная доля представляет собой двузначное число, или приписать «ноль целых» и еще один ноль, если процентная доля представляет собой однозначное число. Примеры:
60% = 0,60 — приписали ноль целых перед числом 60, поскольку число 60 является двузначным
6% = 0,06 — приписали ноль целых и еще один ноль перед числом 6, поскольку число 6 является однозначным.
При делении на 100 мы воспользовались методом передвижения запятой на две цифры влево. В ответе 0,60 ноль, стоящий после цифры 6, сохранился. Но если выполнить это деление уголком, ноль исчезает — получается ответ 0,6
Надо помнить, что десятичные дроби 0,60 и 0,6 равны одному и тому же значению:
0,60 = 0,6
В том же «уголке» можно продолжать деление бесконечно, каждый раз приписывая к остатку ноль, но это будет бессмысленным действием:
Выражать проценты в виде десятичной дроби можно не только делением на 100, но и умножением. Значок процента (%) сам по себе заменяет собой множитель 0,01. А если учитывать, что число процентов и значок процента записаны слитно, то между ними располагается «невидимый» знак умножения (×).
Так, запись 45% на самом деле выглядит следующим образом:
Заменим знак процента на множитель 0,01
Данное умножение на 0,01 выполнятся путем перемещения запятой на две цифры влево:
Задача 1 . Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 70% — деньги, заработанные папой. Какую часть заработала мама?
Решение
Всего процентов 100. Если папа заработал 70% денег, то остальные 30% денег заработала мама.
Задача 2 . Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 70% — деньги, заработанные папой, а 30% — деньги, заработанные мамой. Сколько денег заработал каждый?
Решение
Найдем 70 и 30 процентов от 75 тыс. рублей. Так мы определим сколько денег заработал каждый. Для удобства 70% и 30% запишем в виде десятичных дробей:
75 × 0,70 = 52,5 (тыс. руб. заработал папа)
75 × 0,30 = 22,5 (тыс. руб. заработала мама)
Проверка
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
Ответ : 52,5 тыс. руб. заработал папа, 22,5 руб. заработала мама.
Задача 3 . При остывании хлеб теряет до 4% своей массы в результате испарения воды. Сколько килограммов испарится при остывании 12 тонн хлеба.
Решение
Переведем 12 тонн в килограммы. В одной тонне тысяча килограмм, а в 12 тоннах в 12 раз больше:
1000 × 12 = 12 000 кг
Теперь найдем 4% от 12000. Полученный результат и будет ответом к задаче:
12 000 × 0,04 = 480 кг
Ответ : при остывании 12 тонн хлеба испарится 480 килограмм.
Задача 4 . Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько получится сушенных яблок из 300 кг свежих?
Найдем 84% от 300 кг
300: 100 × 84 = 252 кг
300 кг свежих яблок в результате сушки потеряют 252 кг своей массы. Чтобы ответить на вопрос сколько получится сушенных яблок, нужно из 300 вычесть 252
300 − 252 = 48 кг
Ответ : из 300 кг свежих яблок получится 48 кг сушенных.
Задача 5 . В семенах сои содержится 20% масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?
Решение
Найдем 20% от 700 кг
700 × 0,20 = 140 кг
Ответ : в 700 кг сои содержится 140 кг масла
Задача 6 . Гречневая крупа содержит 10% белков, 2,5% жиров и 60% углеводов. Сколько этих продуктов содержится в 14,4 ц гречневой крупы?
Решение
Переведем 14,4 центнера в килограммы. В одном центнере 100 килограмм, в 14,4 центнерах в 14,4 раз больше
100 × 14,4 = 1440 кг
Найдем 10%, 2,5% и 60% от 1440 кг
1440 × 0,10 = 144 (кг белков)
1440 × 0,025 = 36 (кг жиров)
1440 × 0,60 = 864 (кг углеводов)
Ответ : в 14,4 ц гречневой крупы содержится 144 кг белков, 36 кг жиров, 864 кг углеводов.
Задача 7 . Для лесопитомника школьники собрали 60 кг семян дуба, акации, липы и клена. Желуди составляли 60%, семена клена 15%, семена липы 20% всех семян, а остальное составляли семена акации. Сколько килограммов семян акации было собрано школьниками?
Решение
Примем за 100% семена дуба, акации, липы и клена. Вычтем из этих 100% проценты, выражающие семена дуба, липы и клена. Так мы узнаем сколько процентов составляют семена акации:
100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%
Теперь находим семена акации:
60 × 0,05 = 3 кг
Ответ : школьниками было собрано 3 кг семян акации.
Проверка :
60 × 0,60 = 36
60 × 0,15 = 9
60 × 0,20 = 12
60 × 0,05 = 3
36 + 9 + 12 + 3 = 60
60 = 60
Задача 8 . Купил человек продукты. Молоко стоит 60 рублей, что составляет 48% от стоимости всех покупок. Определить общую сумму денег, потраченных на продукты.
Решение
Это задача на нахождение числа по его проценту, то есть по его известной части. Такую задачу можно решать двумя способами. Первый заключается в том, чтобы выразить известное число процентов в виде десятичной дроби и найти неизвестное число по этой дроби
Выразим 48% в виде десятичной дроби
48% : 100 = 0,48
Зная, что 0,48 составляет 60 рублей, мы можем определить сумму всех покупок. Для этого нужно найти неизвестное число по десятичной дроби:
60: 0,48 = 125 рублей
Значит, общая сумма денег, затраченных на продукты составляет 125 рублей.
Второй способ заключается в том, чтобы сначала узнать сколько денег приходится на один процент, затем полученный результат умножить на 100
48% это 60 рублей. Если мы разделим 60 рублей на 48, то узнаем сколько рублей приходится на 1%
60: 48% = 1,25 рублей
На 1% приходится 1,25 рублей. Всего процентов 100. Если мы умножим 1,25 рублей на 100, получим общую сумму денег, затраченных на продукты
1,25 × 100 = 125 рублей
Задача 9 . Из свежих слив выходит 35% сушенных. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 140 кг сушенных? Сколько получится сушенных слив из 600 кг свежих?
Решение
Выразим 35% в виде десятичной дроби и найдем неизвестное число по этой дроби:
35% = 0,35
140: 0,35 = 400 кг
Чтобы получить 140 кг сушенных слив, нужно взять 400 кг свежих.
Ответим на второй вопрос задачи — сколько получится сушенных слив из 600 кг свежих? Если из свежих слив выходит 35% сушенных, то достаточно найти эти 35% от 600 кг свежих слив
600 × 0,35 = 210 кг
Ответ : чтобы получить 140 кг сушенных слив, нужно взять 400 кг свежих. Из 600 кг свежих слив получится 210 кг сушенных.
Задача 10 . Усвоение жиров организмом человека составляет 95%. За месяц ученик употребил 1,2 кг жиров. Сколько жиров может быть усвоено его организмом?
Решение
Переведем 1,2 кг в граммы
1,2 × 1000 = 1200 г
Найдем 95% от 1200 г
1200 × 0,95 = 1140 г
Ответ : 1140 г жиров может быть усвоено организмом ученика.
Выражение чисел в процентах
Процент, как было сказано ранее, можно представить в виде десятичной дроби. Для этого достаточно разделить число этих процентов на 100. Например, представим 12% в виде десятичной дроби:
Замечание. Мы сейчас не находим процент от чего-то, а просто записываем его в виде десятичной дроби .
Но возможен и обратный процесс. Десятичная дробь может быть представлена в виде процента. Для этого нужно умножить эту дробь на 100 и поставить знак процента (%)
Представим десятичную дробь 0,12 в виде процентов
0,12 × 100 = 12%
Это действие называют выражением числа в процентах или выражением чисел в сотых долях .
Умножение и деление являются обратными операциями. К примеру, если 2 × 5 = 10, то 10: 5 = 2
Точно так же деление можно записать в обратном порядке. Если 10: 5 = 2, то 2 × 5 = 10:
Тоже самое происходит, когда мы выражаем десятичную дробь в виде процентов. Так, 12% были выражены в виде десятичной дроби следующим образом: 12: 100 = 0,12 но потом эти же 12% были «возвращены» с помощью умножения, записав выражение 0,12 × 100 = 12%.
Аналогично можно выразить в процентах любые другие числа, в том числе и целые. Например, выразим в процентах число 3. Умножим данное число на 100 и к полученному результату добавим знак процента:
3 × 100 = 300%
Большие проценты вида 300% поначалу могут сбивать с толку, поскольку человек привык считать 100% максимальной долей. Из дополнительных сведений о дробях мы знаем, что один целый объект можно обозначать через единицу. К примеру, если имеется целый не разрезанный торт, то его можно обозначить через 1
Этот же торт можно обозначить как 100% торта. В этом случае и единица и 100% будут обозначать один и тот же целый торт:
Разрежем торт пополам. В этом случае единица обратится в десятичное число 0,5 (поскольку это половина единицы), а 100% обратятся в 50% (поскольку 50 это половина от сотни)
Вернем обратно целый торт, единицу и 100%
Изобразим ещё два таких торта с такими же обозначениями:
Если один торт является единицей, то три торта являются тремя единицами. Каждый торт является целым стопроцентным. Если сложить эти три сотни получится 300%.
Поэтому при переводе целых чисел в проценты, мы умножаем эти числа на 100.
Задача 2 . Выразить в процентах число 5
5 × 100 = 500%
Задача 3 . Выразить в процентах число 7
7 × 100 = 700%
Задача 4 . Выразить в процентах число 7,5
7,5 × 100 = 750%
Задача 5 . Выразить в процентах число 0,5
0,5 × 100 = 50%
Задача 6 . Выразить в процентах число 0,9
0,9 × 100 = 90%
Пример 7 . Выразить в процентах число 1,5
1,5 × 100 = 150%
Пример 8 . Выразить в процентах число 2,8
2,8 × 100 = 280%
Задача 9 . Джордж идет со школы домой. Первые пятнадцать минут он прошел 0,75 пути. В остальное время он прошел оставшиеся 0,25 пути. Выразите в процентах части пути, пройденные Джорджом.
Решение
0,75 × 100 = 75%
0,25 × 100 = 25%
Задача 10 . Джона угостили половиной яблока. Выразите эту половину в процентах.
Решение
Половина яблока записывается в виде дроби 0,5. Чтобы выразить эту дробь в процентах, умножим её на 100 и к полученному результату добавим знак процента
0,5 × 100 = 50%
Аналоги в виде дробей
Величина, выраженная в процентах, имеет свой аналог в виде обычной дроби. Так, аналогом для 50% является дробь . Пятьдесят процентов также можно назвать словом «половина».
Аналогом для 25% является дробь . Двадцать пять процентов также можно назвать словом «четверть».
Аналогом для 20% является дробь . Двадцать процентов также можно назвать словами «пятая часть».
Аналогом для 40% является дробь .
Аналогом для 60% является дробь
Пример 1 . Пять сантиметров это 50% от дециметра или или же просто половина. Во всех случаях речь идет об одной и той же величине — пяти сантиметрах из десяти
Пример 2 . Два с половиной сантиметра это 25% от дециметра или или же просто четверть
Пример 3 . Два сантиметра это 20% от дециметра или
Пример 4 . Четыре сантиметра это 40% от дециметра или
Пример 5 . Шесть сантиметров это 60% от дециметра или
Уменьшение и увеличение процентов
При увеличении или уменьшении величины, выраженной в процентах употребляется предлог «на».
Примеры :
- Увеличить на 50% — означает увеличить величину в 1,5 раза;
- Увеличить на 100% — означает увеличить величину в 2 раза;
- Увеличить на 200% — означает увеличить в 3 раза;
- Уменьшить на 50% — означает уменьшить величину в 2 раза;
- Уменьшить на 80% — означает уменьшить в 5 раз.
Пример 1 . Десять сантиметров увеличили на 50%. Сколько сантиметров получилось?
Чтобы решать подобные задачи, нужно исходную величину принимать за 100%. Исходная величина это 10 см. 50% от них составляют 5 см
Изначальные 10 см увеличили на 50% (на 5 см), значит получилось 10+5 см, то есть 15 см
Аналогом же увеличения десяти сантиметров на 50% является множитель 1,5. Если умножить на него 10 см получится 15 см
10 × 1,5 = 15 см
Поэтому выражения «увеличить на 50%» и «увеличить в 1,5 раза» говорят об одном и том же.
Пример 2 . Пять сантиметров увеличили на 100%. Сколько сантиметров получилось?
Примем исходные пять сантиметров за 100%. Сто процентов от этих пяти сантиметров будут сами 5 см. Если увеличить 5 см на эти же 5 см, то получится 10 см
Аналогом же увеличения пяти сантиметров на 100% является множитель 2. Если умножить на него 5 см получится 10 см
5 × 2 = 10 см
Поэтому выражения «увеличить на 100%» и «увеличить в 2 раза» говорят об одном и том же.
Пример 3 . Пять сантиметров увеличили на 200%. Сколько сантиметров получилось?
Примем исходные пять сантиметров за 100%. Двести процентов это два раза по сто процентов. То есть 200% от 5 см будут составлять 10 см (по 5 см на каждые 100%). Если увеличить 5 см на эти 10 см, то получится 15 см
Аналогом же увеличения пяти сантиметров на 200% является множитель 3. Если умножить на него 5 см получится 15 см
5 × 3 = 15 см
Поэтому выражения «увеличить на 200%» и «увеличить в 3 раза» говорят об одном и том же.
Пример 4 . Десять сантиметров уменьшили на 50%. Сколько сантиметров осталось?
Примем исходные 10 см за 100%. Пятьдесят процентов от 10 см составляют 5 см. Если уменьшить 10 см на эти 5 см, останется 5 см
Аналогом же уменьшения десяти сантиметров на 50% является делитель 2. Если разделить на него 10 см, то получится 5 см
10: 2 = 5 см
Поэтому выражения «уменьшить на 50%» и «уменьшить в 2 раза» говорят об одном и том же.
Пример 5 . Десять сантиметров уменьшили на 80%. Сколько сантиметров осталось?
Примем исходные 10 см за 100%. Восемьдесят процентов от 10 см составляют 8 см. Если уменьшить 10 см на эти 8 см, останется 2 см
Аналогом же уменьшения десяти сантиметров на 80% является делитель 5. Если разделить на него 10 см, то получится 2 см
10: 5 = 2 см
Поэтому выражения «уменьшить на 80%» и «уменьшить в 5 раз» говорят об одном и том же.
При решении задач на уменьшение и увеличение процентов, можно умножать/делить величину на указанный в задаче множитель.
Задача 1 . Насколько процентов изменилась величина, если она увеличилась в 1,5 раза?
Величину о которой говорится в задаче можно обозначить как 100%. Далее умножить эти 100% на множитель 1,5
100% × 1,5 = 150%
Теперь из полученных 150% вычтем изначальные 100% и получим ответ к задаче:
150% − 100% = 50%
Задача 2 . Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 4 раза?
В этот раз будет происходить уменьшение величины, поэтому будем выполнять деление. Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 4
Из изначальных 100% вычтем полученные 25% и получим ответ к задаче:
100% − 25% = 75%
Значит, при уменьшении величины в 4 раза она уменьшилась на 75%.
Задача 3 . Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 5 раз?
Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 5
Из изначальных 100% вычтем полученные 20% и получим ответ к задаче:
100% − 20% = 80%
Значит, при уменьшении величины в 5 раз она уменьшилась на 80%.
Задача 4 . Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 10 раз?
Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 10
Из изначальных 100% вычтем полученные 10% и получим ответ к задаче:
100% − 10% = 90%
Значит, при уменьшении величины в 10 раз она уменьшилась на 90%.
Задача на нахождение процентного соотношения
Чтобы выразить что-либо в процентном соотношении, сначала нужно записать дробь, показывающую какую часть первое число составляет от второго, затем выполнить деление в этой дроби и полученный результат выразить в процентах.
Например, пусть имеется пять яблок. При этом два яблока являются красными, три — зелеными. Выразим красные и зеленые яблоки в процентном соотношении.
Сначала нужно узнать какую часть составляют красные яблоки. Всего яблок пять, а красных два. Значит, два из пяти или две пятых составляют красные яблоки:
Зеленых же яблок три. Значит, три из пяти или три пятых составляют зеленые яблоки:
Имеем две дроби и . Выполним деление в этих дробях
Получили десятичные дроби 0,4 и 0,6. Теперь выразим в процентах эти десятичные дроби:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
Значит, 40% составляют красные яблоки, 60% — зеленые.
А все пять яблок составляют 40%+60%, то есть 100%
Задача 2 . Двум сыновьям мама дала 200 рублей. Младшему брату мама дала 80 рублей, а старшему 120 рублей. Выразите в процентном соотношении деньги, данные каждому брату.
Решение
Младший брат получил 80 рублей из 200 рублей. Записываем дробь восемьдесят двухсотых:
Старший брат получил 120 рублей из 200 рублей. Записываем дробь сто двадцать двухсотых:
Имеем дроби и . Выполним деление в этих дробях
Выразим в процентах полученные результаты:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
Значит, 40% денег получил младший брат, а 60% — старший.
Некоторые дроби, показывающие какую часть первое число составляет от второго, можно сокращать.
Так дроби и можно было бы сократить. От этого ответ к задаче не изменился бы:
Задача 3 . Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 52,5 тыс. руб. — деньги, заработанные папой. 22,5 тыс. руб. — деньги, заработанные мамой. Выразите в процентах деньги, заработанные папой и мамой.
Решение
Данная задача, как и предыдущая, является задачей на нахождение процентного соотношения.
Выразим в процентах деньги, заработанные папой. Он заработал 52,5 тыс. рублей из 75 тыс. рублей
Выполним деление в этой дроби:
0,7 × 100 = 70%
Значит, папа заработал 70% денег. Далее нетрудно догадаться, что остальные 30% денег заработала мама. Ведь 75 тыс. рублей это все 100% денег. Для уверенности сделаем проверку. Мама заработала 22,5 тыс. руб. из 75 тыс. руб. Записываем дробь, выполняем деление и выражаем в процентах полученный результат:
Задача 4 . Школьник тренируется делать подтягивания на перекладине. В прошлом месяце он мог делать 8 подтягиваний за подход. В этом месяце он может делать 10 подтягиваний за подход. На сколько процентов он увеличил количество подтягиваний?
Решение
Узнаем на сколько больше подтягиваний школьник делает в текущем месяце, чем в прошлом
Узнаем какую часть два подтягивания составляют от восьми подтягиваний. Для этого найдем отношение 2 к 8
Выполним деление в этой дроби
Выразим полученный результат в процентах:
0,25 × 100 = 25%
Значит, школьник увеличил количество подтягиваний на 25%.
Эту задачу можно решить и вторым, более быстрым методом — узнать во сколько раз 10 подтягиваний больше, чем 8 подтягиваний и полученный результат выразить в процентах.
Чтобы узнать во сколько раз десять подтягиваний больше восьми подтягиваний, нужно найти отношение 10 к 8
Выполним деление в получившейся дроби
Выразим полученный результат в процентах:
1,25 × 100 = 125%
Показатель подтягиваний в текущем месяце составляет 125%. Данное высказывание нужно понимать именно как «составляет 125%» , а не как «показатель увеличился на 125%» . Это два разных высказывания, выражающих различные количества.
Высказывание «составляет 125%» нужно понимать как «восемь подтягиваний, которые составляют 100% плюс два подтягивания, которые составляют 25% от восьми подтягиваний». Графически это выглядит следующим образом:
А высказывание «увеличился на 125%» нужно понимать как «к текущим восьми подтягиваниях, которые составляли 100% добавились еще 100% (еще 8 подтягиваний) плюс еще 25% (2 подтягивания)». Итого получается 18 подтягиваний
100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 подтягиваний
Графически это высказывание выглядит следующим образом:
Всего же получается 225%. Если найти 225% от восьми подтягиваний, мы получим 18 подтягиваний
8 × 2,25 = 18
Задача 5 . В прошлом месяце зарплата составляла 19,2 тыс. руб. В текущем месяце она составила 20,16 тыс. руб. На сколько процентов повысилась зарплата?
Эту задачу как и предыдущую можно решать двумя способами. Первый заключается в том, чтобы сначала узнать на сколько рублей увеличилась зарплата. Далее узнать какую часть эта прибавка составляет от зарплаты прошлого месяца
Узнаем на сколько рублей повысилась зарплата:
20,16 − 19,2 = 0,96 тыс. руб.
Узнаем какую часть 0,96 тыс. руб. составляет от 19,2. Для этого найдем отношение 0,96 к 19,2
Выполним деление в получившейся дроби. По пути вспомним, :
Выразим полученный результат в процентах:
0,05 × 100 = 5%
Значит, зарплата повысилась на 5%.
Решим задачу вторым способом. Узнаем во сколько раз 20,16 тыс. руб. больше, чем 19,2 тыс. руб. Для этого найдем отношение 20,16 к 19,2
Выполним деление в получившейся дроби:
Выразим полученный результат в процентах:
1,05 × 100 = 105%
Зарплата составляет 105%. То есть сюда входят 100%, которые составляли 19,2 тыс. руб., плюс 5% которые составляют 0,96 тыс. руб.
100% + 5% = 19,2 + 0,96
Задача 6 . Цена ноутбука в этом месяце повысилась на 5%. Какова его цена, если в прошлом месяце он стоил 18,3 тыс. рублей?
Решение
Найдем 5% от 18,3:
18,3 × 0,05 = 0,915
Прибавим эти 5% к 18,3:
18,3 + 0,915 = 19,215 тыс. руб.
Ответ : цена ноутбука составляет 19,215 тыс. руб.
Задача 7 . Цена ноутбука в этом месяце снизилась на 10%. Какова его цена, если в прошлом месяце он стоил 16,3 тыс. рублей?
Решение
Найдем 10% от 16,3:
16,3 × 0,10 = 1,63
Вычтем эти 10% из 16,3:
16,3 − 1,63 = 14, 67 (тыс. рублей)
Подобные задачи можно записывать кратко:
16,3 − (16,3 × 0,10) = 14,67 (тыс. рублей)
Ответ : цена ноутбука составляет 14,67 тыс. рублей.
Задача 8 . В прошлом месяце цена ноутбука составляла 21 тыс. рублей. В этом месяце цена повысилась до 22,05 тыс. рублей. На сколько процентов повысилась цена?
Решение
Определим насколько рублей повысилась цена
22,05 − 21 = 1,05 (тыс. руб)
Узнаем какую часть 1,05 тыс. руб. составляет от 21 тыс. руб.
Выразим полученный результат в процентах
0,05 × 100 = 5%
Ответ : цена ноутбука повысилась на 5%
Задача 8 . Рабочий должен был изготовить по плану 600 деталей, а он изготовил 900 деталей. На сколько процентов он выполнил план?
Решение
Узнаем во сколько раз 900 деталей больше, чем 600 деталей. Для этого найдем отношение 900 к 600
Значение данной дроби равно 1,5. Выразим это значение в процентах:
1,5 × 100 = 150%
Значит, рабочий выполнил план на 150%. То есть выполнил его на все 100%, изготовив 600 деталей. Затем изготовил еще 300 деталей, что составляет 50% от изначального плана.
Ответ : рабочий выполнил план на 150%.
Сравнение величин в процентах
Мы уже много раз сравнивали величины различными способами. Первым нашим инструментом была разность. Так, к примеру чтобы сравнить 5 рублей и 3 рубля, мы записывали разность 5−3. Получив ответ 2, можно было сказать, что «пять рублей больше трех рублей на два рубля».
Получаемый в результате вычитания ответ в повседневной жизни называют не «разностью», а «разницей».
Так, разница между пятью и тремя рубля составляет два рубля.
Следующим инструментом, которым мы воспользовались для сравнения величин, было отношение. Отношение позволяло нам узнать во сколько раз первое число больше второго (или сколько раз первое число содержит второе).
Так, к примеру десять яблок больше двух яблок в пять раз. Или по другому, десять яблок содержит два яблока пять раз. Данное сравнение можно записать с помощью отношения
Но величины можно сравнить и в процентах. Например, цену двух товаров сравнивать не в рублях, а оценивать, насколько цена одного товара больше или меньше цены другого в процентах.
Для сравнения величин в процентах, одну из них нужно обозначить как 100%, а вторую исходя из условий задачи.
Например, узнаем на сколько процентов десять яблок больше, чем восемь яблок.
За 100% нужно обозначить ту величину с которой мы что-либо сравниваем. Мы сравниваем 10 яблок с 8 яблоками. Значит, за 100% обозначаем 8 яблок:
Теперь наша задача сравнить на сколько процентов 10 яблок больше, чем эти 8 яблок. 10 яблок это 8+2 яблока. Значит, добавив к восьми яблокам ещё два яблока, мы увеличим 100% еще на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, определим сколько процентов от восьми яблок составляют два яблока
Добавив эти 25% к восьми яблокам, мы получим 10 яблок. А 10 яблок это 8+2, то есть 100% и еще 25%. Итого получаем 125%
Значит, десять яблок больше восьми яблок на 25%.
Теперь решим обратную задачу. Узнаем насколько процентов восемь яблок меньше, чем десять яблок. Сразу напрашивается ответ, что восемь яблок меньше на 25%. Однако это не так.
Мы сравниваем восемь яблок с десятью яблоками. Мы договорились, что за 100% будем брать то, с чем сравниваем. Поэтому в этот раз за 100% берем 10 яблок:
Восемь яблок это 10−2, то есть уменьшив 10 яблок на 2 яблока, мы уменьшим их на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, определим сколько процентов от десяти яблок составляют два яблока
Отняв эти 20% от десяти яблок, мы получим 8 яблок. А 8 яблок это 10−2, то есть 100% и минус 20%. Итого получаем 80%
Значит, восемь яблок меньше десяти яблок на 20%.
Задача 2 . На сколько процентов 5000 рублей больше, чем 4000 рублей?
Решение
Примем 4000 рублей за 100%. 5 тысяч больше 4 тысяч на 1 тысячу. Значит, увеличив четыре тысячи на одну тысячу, мы увеличим четыре тысячи на какое-то количество процентов. Узнаем на какое именно. Для этого определим какую часть одна тысяча составляет от четырех тысяч:
Выразим полученный результат в процентах:
0,25 × 100 = 25%
1000 рублей от 4000 рублей составляют 25%. Если прибавить эти 25% к 4000, то получится 5000 рублей. Значит, 5000 рублей на 25% больше, чем 4000 рублей
Задача 3 . На сколько процентов 4000 рублей меньше, чем 5000 рублей?
В этот раз сравниваем 4000 с 5000. Примем 5000 за 100%. Пять тысяч больше четырех тысяч на одну тысячу рублей. Узнаем какую часть одна тысяча составляет от пяти тысяч
Тысяча от пяти тысяч составляет 20%. Если вычесть эти 20% от 5000 рублей, то получим 4000 рублей.
Значит, 4000 рублей меньше 5000 рублей на 20%
Задачи на концентрацию, сплавы и смеси
Допустим, возникло желание приготовить какой-нибудь сок. У нас в распоряжении имеется вода и малиновый сироп
Нальем 200 мл воды в стакан:
Добавим 50 мл малинового сиропа и размешаем полученную жидкость. В результате у нас получится 250 мл малинового сока (200 мл воды + 50 мл сиропа = 250 мл сока)
Какую часть от получившегося сока составляет малиновый сироп?
Малиновый сироп составляет сока. Вычислим это отношение, получим число 0,20 . Это число показывает количество растворённого сиропа в получившемся соке. Назовём это число концентрацией сиропа .
Концентрацией растворённого вещества называют отношение количества растворённого вещества или его массы к объему раствора.
Концентрация обычно выражается в процентах. Давайте выразим концентрацию сиропа в процентах:
0,20 × 100 = 20%
Таким образом, концентрация сиропа в малиновом соке составляет 20%.
Вещества в растворе могут быть неоднородными. Например, смешаем 3 л воды и 200 г соли.
Масса 1 л воды составляет 1 кг. Тогда масса 3 л воды будет составлять 3 кг. Переведем 3 кг в граммы, получим 3 кг = 3000 г.
Теперь в 3000 г воды опустим 200 г соли и смешаем полученную жидкость. В результате получится соленный раствор, общая масса которого будет составлять 3000+200, то есть 3200 г. Найдем концентрацию соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение массы растворенной соли к массе раствора
Значит, при смешивании 3 л воды и 200 г соли получится 6,25%-й раствор соли.
Аналогично может быть определено количество вещества в сплаве или в смеси. Например, сплав содержит олово массой 210 г, и серебро массой 90 г. Тогда масса сплава будет составлять 210+90, то есть 300 г. Олова в сплаве будет содержаться , а серебра . В процентном соотношении олова будет 70% , а серебра 30%
При смешивании двух растворов получается новый раствор, состоящий из первого и второго растворов. У нового раствора концентрация вещества может быть другой. Полезным навыком является умение решать задачи на концентрацию, сплавы и смеси. В общем итоге смысл таких задач заключается в отслеживании изменений, которые происходят при смешивании растворов различной концентрации.
Смешаем два малиновых сока. Первый сок объемом 250 мл содержит 12,8% малинового сиропа. А второй сок объемом 300 мл содержит 15% малинового сиропа. Сольем эти два сока в большой стакан и смешаем. В результате получим новый сок объемом 550 мл.
Теперь определим концентрацию сиропа в полученном соке. Первый слитый сок объемом 250 мл содержал 12,8% сиропа. А 12,8% от 250 мл это 32 мл. Значит, первый сок содержал 32 мл сиропа.
Второй слитый сок объемом 300 мл содержал 15% сиропа. А 15% от 300 мл это 45 мл. Значит, второй сок содержал 45 мл сиропа.
Сложим количества сиропов:
32 мл + 45 мл = 77 мл
Эти 77 мл сиропа содержатся в новом соке, объем которого составляет 550 мл. Определим концентрацию сиропа в этом соке. Для этого найдём отношение 77 мл растворённого сиропа к объему сока 550 мл:
Значит, при смешивании 12,8%-го малинового сока объемом 250 мл и 15%-го малинового сока объемом 300 мл, получается 14%-й малиновый сок объемом 550 мл.
Задача 1 . Имеются 3 раствора морской соли в воде: первый раствор содержит 10% соли, второй содержит 15% соли и третий — 20% соли. Смешали 130 мл первого раствора, 200 мл второго раствора и 170 мл третьего раствора. Определите сколько процентов составляет морская соль в полученном растворе.
Решение
Определим объем полученного раствора:
130 мл + 200 мл + 170 мл = 500 мл
Поскольку в первом растворе было 130 × 0,10 = 13 мл морской соли, во втором растворе 200 × 0,15 = 30 мл морской соли, а в третьем — 170 × 0,20 = 34 мл морской соли, то в полученном растворе будет содержаться 13 + 30 + 34 = 77 мл морской соли.
Определим концентрацию морской соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение 77 мл морской соли к объему раствора 500 мл
Значит, в полученном растворе содержится 15,4% морской соли.
Задача 2 . Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5%-й раствор?
Решение
Заметим, что если к имеющемуся раствору добавить воды, то количество соли в нём не изменится. Изменится только её процентное содержание, поскольку добавление воды в раствор приведёт к изменению его массы.
Нам нужно добавить такое количество воды при котором восемь процентов соли стали бы пятью процентами.
Определим сколько граммов соли содержится в 50 г раствора. Для этого найдем 8% от 50
50 г × 0,08 = 4 г
8% от 50 г составляют 4 г. Другими словами, на восемь частей из ста приходятся 4 грамма соли. Давайте сделаем так, чтобы эти 4 грамма приходились не на восемь частей, а на пять частей, то есть на 5%
4 грамма — 5%
Теперь зная, что на 5% раствора приходятся 4 грамма, мы можем найти массу всего раствора. Для этого нужно :
4 г: 5 = 0,8 г
0,8 г × 100 = 80 г
80 граммов раствора это масса при которой 4 грамма соли будут приходиться на 5% раствора. А для получения этих 80 граммов, нужно к изначальным 50 граммам добавить 30 граммов воды.
Значит, для получения 5%-го раствора соли, нужно к имеющемуся раствору добавить 30 г воды.
Задача 2 . Виноград содержит 91% влаги, а изюм – 7%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма?
Решение
Виноград состоит из влаги и чистого вещества. Если в свежем винограде содержится 91% влаги, то на остальные 9% будет приходиться чистое вещество этого винограда:
Изюм же содержит 93% чистого вещества и 7% влаги:
Заметим, что в процессе превращения винограда в изюм, исчезает только влага этого винограда. Чистое вещество остаётся без изменения. После того, как виноград превратится в изюм, в получившемся изюме будет 7% влаги и 93% чистого вещества.
Определим сколько чистого вещества содержится в 21 кг изюма. Для этого найдем 93% от 21 кг
21 кг × 0,93 = 19,53 кг
Теперь вернемся к первому рисунку. Наша задача состояла в том, чтобы определить сколько винограда нужно взять для получения 21 кг изюма. Чистое вещество массой 19,53 кг будет приходиться на 9% винограда:
Теперь зная, что 9% чистого вещества составляют 19,53 кг, мы можем определить сколько винограда требуется для получения 21 кг изюма. Для этого нужно найти число по его проценту:
19,53 кг: 9 = 2,17 кг
2,17 кг × 100 = 217 кг
Значит, для получения 21 кг изюма нужно взять 217 кг винограда.
Задача 3 . В сплаве олова и меди медь составляет 85%. Сколько надо взять сплава, чтобы в нём содержалось 4,5 кг олова?
Решение
Если в сплаве медь составляет 85%, то на остальные 15% будет приходиться олово:
Спрашивается сколько надо взять сплава, чтобы в нем содержалось 4,5 олова. Поскольку олова в сплаве содержится 15%, то 4,5 кг олова и будут приходиться на эти 15%.
А зная, что 4,5 кг сплава составляют 15% мы можем определить массу всего сплава. Для этого нужно найти число по его проценту:
4,5 кг: 15 = 0,3 кг
0,3 кг × 100 = 30 кг
Значит, сплава нужно взять 30 кг, чтобы в нём содержалось 4,5 кг олова.
Задача 4 . Смешали некоторое количество 12%-го раствора соляной кислоты с таким же количеством 20%-го раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.
Решение
Изобразим на рисунке первый раствор в виде прямой линии и выделим на нём 12%
Поскольку количество растворов одинаково, рядом можно изобразить такой же рисунок, иллюстрирующий второй раствор с содержанием соляной кислоты 20%
У нас получилось двести частей раствора (100% + 100%) , тридцать две части из которых составляют соляную кислоту (12% + 20%)
Определим какую часть 32 части составляют от 200 частей
Значит, при смешивании 12%-го раствора соляной кислоты с таким же количеством 20%-го раствора этой же кислоты получится 16%-й раствор соляной кислоты.
Для проверки представим, что масса первого раствора была 2 кг. Масса второго раствора так же будет составлять 2 кг. Тогда при смешивании этих растворов получится 4 кг раствора. В первом растворе соляной кислоты было 2 × 0,12 = 0,24 кг, а во втором — 2 × 0,20 = 0,40 кг . Тогда в новом растворе соляной кислоты будет 0,24 + 0,40 = 0,64 кг . Концентрация соляной кислоты составит 16%
Задачи для самостоятельного решения
на , мы найдем 60% от числа
Теперь увеличим число на найденные 60%, т.е. на число
Ответ: новое значение равно
Задача 12. Ответьте на следующие вопросы:
1) Потратили 80 % суммы. Сколько процентов этой суммы осталось?
2) Мужчины составляют 75 % всех работников завода. Сколько процентов работников завода составляют женщины?
3) Девочки составляют 40 % класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?
А Решение
Воспользуемся переменной. Пусть P это исходное число о котором говорится в задаче. Примем это исходное число P за 100%
Уменьшим это исходное число P на 50%
Теперь новое число составляет 50% от исходного числа. Узнаем во сколько раз исходное число P больше нового числа. Для этого найдем отношение 100% к 50%
Исходное число в два раза больше нового. Это видно даже по рисунку. А чтобы сделать новое число равным исходному, его нужно увеличить в два раза. А увеличить число в два раза означает увеличить его на 100%.
Значит, новое число, которое составляет половину от исходного числа, нужно увеличить на 100%.
Рассматривая новое число, его также принимают за 100%. Так, на приведенном рисунке новое число является половиной от исходного числа и подписано как 50%. По отношению к исходному числу новое число является половиной. Но если рассматривать его отдельно от исходного, его нужно принимать за 100%.
Поэтому на рисунке, новое число которое изображается линией, сначала было обозначено как 50%. Но затем это число мы обозначили как 100%.
Ответ: чтобы получить исходное число, новое число надо увеличить на 100%.
Задача 16.
В прошлом месяце в городе произошло 15 ДТП.
В этом месяце этот показатель снизился до 6. На сколько процентов снизилось количество ДТП?
Решение
В прошлом месяце было 15 ДТП. В этом месяце 6. Значит, количество ДТП снизилось на 9.
Примем 15 ДТП за 100%. Снизив 15 ДТП на 9, мы снизим их на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, узнаем какую часть 9 ДТП составляет от 15 ДТП
Ответ: концентрация получившегося раствора составляет 12%.
Задача 18. Смешали некоторое количество 11%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Решение
Масса обоих растворов одинакова. Каждый раствор можно принять за 100%. После сложения растворов получится 200% раствора. В первом растворе было 11% вещества, а во втором 19% вещества. Тогда в получившемся 200%-м растворе будет 11% + 19% = 30% вещества.
Определим концентрацию получившегося растворе. Для этого узнаем какую часть тридцать частей вещества составляют от двухсот частей вещества:
1,10. Значит, цена за первый месяц станет 1,10 .
За второй месяц цена также повысилась на 10% . Прибавим к нынешней цене 1,10 десять процентов от этой цены, получим 1,10 + 0,10 × 1,10 . Эта сумма равна выражению 1,21 . Значит, цена за второй месяц станет 1,21 .
За третий месяц цена также повысилась на 10% . Прибавим к нынешней цене 1,21 десять процентов от этой цены, получим 1,21 + 0,10 × 1,21. Эта сумма равна выражению 1,331 . Тогда цена за третий месяц станет 1,331 .
Вычислим разницу между новой и старой ценой. Если изначальная цена была равна 1 , то повысилась она на 1,331 − 1 = 0,331 . Выразим этот результат в процентах, получим 0,331 × 100 = 33,1%
Ответ: за 3 месяца цены на продукты питания повысились на 33,1%.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
В прошлом видеоуроке мы рассматривали решение задач на проценты с помощью пропорций. Тогда по условию задачи нам требовалось найти значение той или иной величины.
В этот раз исходное и конечное значения нам уже даны. Поэтому в задачах будет требоваться найти проценты. Точнее, на сколько процентов изменилась та или иная величина. Давайте попробуем.
Задача. Кроссовки стоили 3200 рублей. После повышения цены они стали стоить 4000 рублей. На сколько процентов была повышена цена на кроссовки?
Итак, решаем через пропорцию. Первый шаг — исходная цена была равна 3200 рублей. Следовательно, 3200 рублей — это 100%.
Кроме того, нам дана конечная цена — 4000 рублей. Это неизвестное количество процентов, поэтому обозначим его за x . Получим следующую конструкцию:
3200 — 100%
4000 — x
%
Что ж, условие задачи записано. Составляем пропорцию:
Дробь слева прекрасно сокращается на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Кроме того, можно сократить на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Получим следующую пропорцию:
Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:
8 · x
= 100 · 10;
8x
= 1000.
Это обычное линейное уравнение. Отсюда находим x :
x = 1000: 8 = 125
Итак, мы получили итоговый процент x = 125. Но является ли число 125 решением задачи? Нет, ни в коем случае! Потому что в задачи требуется узнать, на сколько процентов была повышена цена на кроссовки.
На сколько процентов — это значит, что нам нужно найти изменение:
∆ = 125 − 100 = 25
Получили 25% — именно настолько была повышена исходная цена. Это и является ответом: 25.
Задача B2 на проценты №2
Переходим ко второй задаче.
Задача. Рубашка стоила 1800 рублей. После снижения цены она стала стоить 1530 рублей. На сколько процентов была снижена цена на рубашку?
Переводим условие на математический язык. Исходная цена 1800 рублей — это 100%. А итоговая цена 1530 рублей — она нам известна, но неизвестно, сколько процентов она составляет от исходной величины. Поэтому обозначим ее за x . Получим следующую конструкцию:
1800 — 100%
1530 — x
%
На основе полученной записи составляем пропорцию:
Давайте для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части данного уравнения на 100. Другими словами, у числителя левой и правой дроби мы зачеркнем два нуля. Получим:
Теперь снова воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
18 · x
= 1530 · 1;
18x
= 1530.
Осталось найти x :
x = 1530: 18 = (765 · 2) : (9 · 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Мы получили, что x = 85. Но, как и в прошлой задаче, это число само по себе не является ответом. Давайте вернемся к нашему условию. Теперь мы знаем, что новая цена, полученная после снижения, составляет 85% от старой. И для того, чтобы найти изменения, нужно из старой цены, т.е. 100%, вычесть новую цену, т.е. 85%. Получим:
∆ = 100 − 85 = 15
Это число и будет ответом: Обратите внимание: именно 15, а ни в коем случае не 85. Вот и все! Задача решена.
Внимательные ученики наверняка спросят: почему в первой задаче мы при нахождении разности вычитали из конечного числа начальное, а во второй задаче поступили в точности до наоборот: из исходных 100% вычли конечные 85%?
Давайте проясним этот момент. Формально, в математике изменением величины всегда называется разность между конечным значением и начальным. Другими словами, во второй задаче у нас должно было получиться не 15, а −15.
Однако этот минус ни в коем случае не должен попасть в ответ, потому что он уже учтен в условии исходной задачи. Там прямо сказано о снижении цены. А снижение цены на 15% — это то же самое, что повышение цены на −15%. Именно поэтому в решении и ответе задачи достаточно написать просто 15 — без всяких минусов.
Все, надеюсь, с этим моментом мы разобрались. На этом наш сегодняшний урок закончен. До новых встреч!
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность исследования
Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.
Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике.
Проценты - математическое понятие, которое часто встречается в повседневной жизни.Любой человек должен уметь решать задачи, предлагаемые самой жизнью. Мы платим налоги. Как посчитать материальное вознаграждение, которое получаем мы, когда кладем деньги на депозит, какое вознаграждение получает банк, когда мы берем кредит, ипотеку. Все эти и многие другие вопросы, касающиеся процентных исчислений, решает знание процентови умение решать задачи на проценты.
Везде - в газетах, по радио, телевидению и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, пенсии, рост стоимости акций, снижение покупательской способности населения. Так, мы часто слышим или читаем, что, например, цены повысились на 20%, молоко содержит 4% жира, пенсия повысилась на 10%, в выборах приняли участие 76 % избирателей.
Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счёт в сбербанке, нужно знать размеры процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции.
Решение математических задач практического содержания позволяет убедиться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в современной жизни.
Мои наблюдения и проведённый опрос среди одноклассников и друзей показали, что мы, школьники, молодые люди, имеем самые общие и довольно небольшие знания о процентах, а о различных способах исчисления процентов и того меньше.
Выявленные недостатки в наших знаниях и умениях решать задачи на проценты объясняются наличием объективно складывающихся противоречий : между существующей потребностью вычислять процентное содержание в различных областях жизни людей и - не информированностью по этому вопросу и почти полным неумением это быстро и легко сделать.
С учётом выявленных противоречий была сформулирована проблема исследования: каковы история и способы решения задач на проценты?
Актуальность проблемы, её значимость в современном мире определили тему моего исследования : «Решение задач на проценты».
Цель исследования : изучить сведения о процентах, о типах задач, о способах их решения и научиться использовать полученные знания на практике.
Объект исследования : Проценты в прошлом и в настоящее время.
Предмет исследования : исторические сведения о процентах, решение задач на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными дробями.
В соответствие с целью исследования были поставлены следующие задачи исследования :
Изучить историю понятия ПРОЦЕНТ.
Рассмотреть использование процента в повседневной жизни.
Рассмотреть различные типы задач и их решения.
Устранить пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: нахождение процента от величины,нахождение величиныпо её проценту,нахождение процента одной величины от другой.
Обобщить полученные знания и умения и сформулировать выводы.
Вработе использовались следующие методы исследования : изучение литературы по теме, анализ, синтез, обобщение.
Глава 1. Актуальность процентов от древности до наших дней 1.1.История развития «процента»
Изучение информации в сети интернет показало, что слово «процент» происходит от латинского слова “procentum”, что означает «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях родилась ещё в древности у вавилонян.В их клинописных табличках уже содержались задачи на расчёт процентов. Были известны проценты и в Индии, где с давних пор вёлся счёт в десятичной системе счисления. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией.Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.
В русском языке слово «процент» имеет и другое смысловое значение − выражает тот факт, что заёмщик помимо возврата предоставленных ему кредитором денежных средств должен дополнительно заплатить кредитору за использование этих средств. Об этом говорит, например, объявление: «Банк предоставляет населению кредиты под проценты».
Денежные расчеты с процентами были особенно распростране-ны в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, кото-рые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый про-цент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян процен-ты перешли к другим народам.
В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять процен-ты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таб-лицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.
В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый СимонСтевин. В 1584г. он впервые опубликовал таблицу процентов.Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д.
Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento(сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента.
Другая версия происхождения этого знака заключается в том, что в Париже в 1685 году наборщик книги-руководства по коммерческой арифметике допустил опечатку - вместо ctoнаписал %.
Долгое время под процентами понимались исключительно при-быль илиубыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках.Уже в далекой древности широко было распространено ростовщичество - выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20 % и более! Известно, что в XIV-XV вв. в Западной Европе широко распространились банки - учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленниками и т. д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.
Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за еди-ницу). Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых в одних и тех же долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым.
Процент - сотая доля числа, принимаемого за целое. Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100 %.
Например, 1 % от зарплаты - это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты - это сто сотых частей зарплаты, т. е. вся зарплата. Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть центнера- это килограмм.1% - одна сотая доля числа.
Как известно из практики, с помощью процентов часто показы-вают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характе-ризующей значимость произошедшего изменения. Величина, выраженная в процентах, является более наглядной, понятной, ее легко сравнить с другими значениями.
1.2.«Проценты» в повседневной жизни
Мы считаем, что в настоящее время актуально более углубленное изучение темы «Проценты» в разных ситуациях. Причина такой необходимости - это значимость, т. к. задания по данной теме часто встречаются на различных экзаменах, а также применяются не только на уроках математики, химии, экономики. Проценты прочно входят и в нашу повседневную жизнь: кредиты, банковские проценты, составы химических веществ.
Для полного исследования применения процентов в нашей жизни я провела опрос среди моих одноклассников, где они встречали это понятие. Результаты опроса удивили даже самих ребят. Совместно мы вспомнили так много сфер применения процента вот перечень приведённых примеров:
Проценты применяются:
При расчёте скидок в магазине, составлении договора в банке, определении остроты зрения, соотношения ниток в составе ткани, определении жирности в продуктах, определении загрузки программ в компьютере или зарядки элементов питания, значение соотношения голосов на выборах или при голосовании, при распределении прибыли фирмы, подсчёте выполнения тестов ЕГЭ, расчёт налогов от з/платы, при сборе урожая и определении его потерь от стихии, соотношение воды в организме человека, или воды и суши на Земле, в соотношении примесей и золота в украшениях, поступивших в ВУЗы от общего чиста поступающих, информация для автомобилиста об остатке бензина в баке, при рейтинге участников хит-парада, определении порога эпидемии.
Из вышесказанного видно, что проценты применяются в следующих областях: торговле, программировании, экономике, технологии производства, статистике, медицине, общественной жизни, бытовой жизни, разных областях науки, искусстве.
Проценты являются неотъемлемой частью банковских, торговых, налоговых, фармацевтических и т. д. операций. Они вошли в нашу жизнь не только с выпечкой кулинарных изделий и с приготовлением лакомств, они буквально атакуют нас в пору рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций, кризисов.
Вкладчик сбережений в банке учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Правильно воспользоваться ипотечным кредитом в банке также помогут проценты. Грамотно проводить процентные расчеты - это значит иметь выгоду в банковских сделках, иметь рентабельный бизнес и коммерческие предложения.
Таким образом, проценты - это одно из математических понятий, которые очень часто встречаются в повседневной жизни.
После опроса стало окончательно ясно, что без умения понимать такого рода информацию в современном обществе, просто трудно было бы существовать. Поэтому возникает необходимость выявить и изучить все существующие задачи на проценты и способы их решения, что мы и раскроем в следующем параграфе.
Глава 2.Виды задач на проценты и способы их решения 2.1. Виды задач на проценты
2.1.1. Нахождение процентов от числа
Чтобы найти процент от числа, следует:
Проценты записать десятичной дробью.
Число умножить на эту десятичную дробь.
Задача: В магазин привезли 14 т капусты, 70% всей капусты продали. Сколько тонн капусты осталось?
Оставшаяся часть капусты составляет: 100% - 70% = 30% = 0,3
Ответ: 4,2 тонны.
Нахождение числа по его процентам
Чтобы найти число по его процентам, следует:
Проценты записать десятичной дробью;
Число разделить на эту десятичную дробь.
Задача: Тракторная бригада вспахала за день 25% всего поля, что составляет 60 га. Какова площадь всего поля?
25% = 0,25;
60: 0.25 = 240
Ответ: 240 га.
Нахождение процентного отношения чисел
Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, следует:
Первое число разделить на второе.
Результат умножить на 100%.
Задача: Длина прямоугольника 40 дм, площадь 200 дм 2 . Сколько процентов составляет ширина от длины?
ширинаравна 200: 40 = 5
5:40 ·100% = 12,5%
Ответ: 12,5%
Увеличение на р%
Чтобы увеличить положительное число а на р%, следует:
умножить числоа на коэффициент увеличения к = (1+0,01р)
Задача: Цена на яблоки выросла на 30%. Какова цена яблок после повышения, если первоначальная цена 250 рублей?
к = 1 + 0,01 ·30 = 1,3
250 · 1,3 = 325
Ответ: 325 рубля.
Уменьшение на р%
Чтобы уменьшить положительное число а на р%, следует:
умножить числоа на коэффициент уменьшенияк = (1- 0,01·р)
Задача: Цена на путевку в санаторий снизилась на 10%. Сколько стоит путевка, если ее первоначальная цена 12 рублей?
к = 1 - 0,01·10 = 0,9;
12 · 0,9 = 10,8
Ответ: 10,8 рубля.
2.2.Решение задач на проценты составлением пропорции
При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за 100%, а ее часть - величинаa - принимается заx % и составляется пропорция:
Из пропорции по двум известным величинам определяют неизвестную третьювеличину, пользуясь основным свойством пропорции: b·x =100·a
Задача 1 . В театральной студии занимаются 36 девушек. Сколько всего учащихся занимаются в данной студии, если юноши составляют 52%?
Девушки составляют 100% - 52% = 48% всех учащихся.
Девушки: 36 чел. - 48%
Всего учащихся: х чел. - 100%
Составляем пропорцию:
Ответ: 75 учащихся.
Задача 2 . Зарплату токарю повысили сначала на 10%, а затем через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата токаря по сравнению с первоначальной?
а - первоначальная зарплата
1 после повышения на 10% - 1,1 а
через год после повышения на 20% - 1,1а · 1,2 = 1,32а
Составим пропорцию:
132% - 100% = 32%
Ответ: на 32%.
2.3.Решение задач на проценты алгебраическим методом
Задача 1 . Одна сторона прямоугольника на 42% больше другой. Площадь прямоугольника 568 см 2 . Найти наименьшую из сторон.
Пусть х - одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона будет 1,42х .
Составим уравнение и решим его:
х · 1,42 х = 568
1,42х 2 = 568
х 2 = 400
х 1 = 20 и х 2 = - 20 - не подходит
Ответ: 20 см.
Задача 2. Турист прошел в первый день 40% маршрута, во второй день 45% оставшегося пути, после чего ему осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день. Весь маршрут составляет
х (км) - весь маршрут
0,4 х (км) - турист прошел в первый день пути
0,45(х - 0,4х) = 0,27х (км)- турист прошел во второй день пути
х - (0,4х + 0,27х) = 0,33х (км) - осталось пройти туристу
Т.к. туристу осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день, составим уравнение и решим его:
0,33х - 0,27х = 6
0,06х = 6
х = 100
Ответ: 100 км.
2.4.Решение задач на концентрацию и процентное содержание
Для решения задач из этого раздела введем основные понятия:
Пусть даны два различных вещества А и В с массами m А и m В. Масса смеси, составленной из этих веществ, равна М = m А + m В.
Массовая концентрация вещества А в смеси (доля чистого вещества в смеси) С А = = .
Массовые концентрации связаны равенством: С А + С В =1
Процентное содержание вещества А в данной смеси вычисляется по формуле: Р А = С А · 100%
Задача 1. Имеется 50г раствора, содержащего 8% соли. Надо получить 5% -й раствор. Чему равна масса пресной воды, которую необходимо добавить к первоначальному раствору?
Пусть требуется добавить х кг пресной воды. За чистое вещество принимаем соль. Решение оформим таблицей.
Составим уравнение: 0,08 · 50 = (50 + х) · 0,05
50 + х = 80
Ответ: 30 кг.
Задача 2. В растворе содержится 15% соли. Если добавить 150г соли, то в растворе будет содержаться 45% соли. Найти массу соли в первоначальном растворе.
Пусть масса раствора -х г. Решение оформим таблицей.
Составим и решим уравнение: 0,15х + 150 = (х + 150) · 0,45
0,3х = 82,5
х = 275
Найдем массу чистого вещества в первоначальном растворе: 275 · 0,15 = 41,25.
Ответ: 41,25г.
Нами рассмотрено 8 видов задач на проценты. Как показывает анализ, в экзаменационных работах по ОГЭ включены задачи на проценты, некоторые из них представлены в приложении.
Заключение
В заключение хочется сказать, проценты - это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты, необходимы для каждого человека, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно. Поэтому считаю, что моя работа найдет практическое применение на уроках алгебры, как пример решения задач разных видов с практическим содержанием. Поможет выпускникам вспомнить основные способы решения задач на проценты.
Список литературы
Глейзер Г.И. История математики в школе (4-6 кл.): пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.-240с.
Крамор, В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М.: Просвещение 1990.-416с.
Новик, И А.Задачи по математике: 4-8-е кл. Кн. для учащихся / И. А. Новик, Н. К. Пещенко, Н. В. Бровка. - Минск:Нар.асвета, 1984. - 96 с.
«Энциклопедический словарь юного математика»
Интернет-ресурсы
Www. math-on-line.Com
Www. edu.yar.ru/russian/pedba
Www. nk/sor_uch/math/Kalmyk/
Www. procent.html
Задачи на проценты в вариантах ОГЭ по математике
Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Переведем 45млн в рубли=45000000, так как 45 млн весь бюджет следовательно - 100%, так как на статью было затрачено 12,5% от общего бюджета, обозначим через х это кол-во в рублях, составим пропорцию
45000000-100%
х-12,5%
х=45000000·12,5:100=5625000 (руб)
Ответ: 5625000(руб)
Перед представлением в цирк для продажи было заготовлено некоторое количество шариков. Перед началом представления было продано всех воздушных шариков, а в антракте - еще 12 штук. После этого осталась половина всех шариков. Сколько шариков было первоначально?
Пусть осталось шариков х .
Все шарики 2х
Продали перед представлением: 2х· =2х·0,4=0,8х
Продали в антракте 12 штук
составим уравнение
2х-0,8х-12=х
2х-0,8х-х=12
0,2х=12
х=12:0,2
х= 60 шариков осталось
60·2=120 шариков было
Ответ:120 шариков
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Через год вклад-чик по-лу-чит 20 % до-хо-да, что со-ста-вит
800 ·0,2=160 р.
Таким об-ра-зом, через год на счете будет:
800+160=960 р.
Ответ: 960р.
Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?Решение:100-20=80 % новая цена со-став-ля-ет 80 % от ста-рой цены.Cоставим пропорцию
680 рублей - 80 %x рублей - 100 %
680·100:80= 850 рублей стоил товар до распродажи
Ответ: 850 рублей.
Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Ре-ше-ние:
Один про-цент от 40 млн. равен: 40 000 000:100 = 400 000 руб.
На вы-пла-ту част-ным ак-ци-о-не-рам пошло: 400 000· 40= 16000000руб.
Ответ: 16000000.
Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 3:5. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 32 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Ре-ше-ние:
Пусть x млн. руб-лей при-хо-дит-ся на одну часть акции, тогда 5x при-хо-дит-ся част-ным ак-ци-о-не-рам, а 3x — го-су-дар-ству. Зная, что вся при-быль со-ста-ви-ла 32 млн. руб-лей, со-ста-вим урав-не-ние:
3x+5x=32
x=4 млн. руб.
Таким об-ра-зом, част-ным ак-ци-о-не-рам при-хо-дит-ся в пять раз боль-ше или 20 млн. руб.
Ответ: 20 000 000.
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 1:4. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
Ре-ше-ние:
Всего де-ре-вьев пять ча-стей, из них лист-вен-ных — че-ты-ре части, это со-став-ля-ет 4: 5 = 0,8 или 80 %.
Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько весит Сергей?
Ре-ше-ние:
Най-дем вес Сер-гея: 48· 120:100=57,6 кг.
Ответ: 57,6 кг.
В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?
Решение:Обозначим за 100% число абонентов в 200 тыс.чел. ,а за х -210 тыс. чел. абонентов.Составим пропорцию:
200 тыс.чел. - 100%210 тыс.чел. - х%
х=210·100/200=105 (%)
105%-100%=5% (на столько процентов увеличилось количество абонентов)Ответ: 5%
Тест по математике содержит 30 заданий, из которых 18 заданий по алгебре, остальные - по геометрии. В каком отношении содержатся в тесте алгебраические и геометрические задания?
Ре-ше-ние:
Ко-ли-че-ство за-да-ний по гео-мет-рии равно: 30-18=12 шт. Таким об-ра-зом, ал-геб-ра-и-че-ские и гео-мет-ри-че-ские за-да-чи на-хо-дят-ся в от-но-ше-нии: 18: 12 = 3: 2.
Ответ: 3: 2
На счет в банке, доход по которому составляет 15% годовых, внесли 24 тыс. р. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Ре-ше-ние:
Най-дем, сколь-ко про-цен-тов будет через год: 100%+15%=115%. Таким об-ра-зом, через год в банке будет: 2400· 115:100=27600 руб.
Ответ: 27600 руб.
Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стоимость товара 520 р., и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой?
Ре-ше-ние:
Рас-счи-та-ем скид-ку, ко-то-рую по-лу-ча-ет по-ку-па-тель, опла-чи-вая товар по дис-конт-ной карте с 5%-ной скид-кой: 520· 5:100=26 руб. Таким об-ра-зом, ито-го-вая цена со скид-кой равна: 520 - 26 = 494 руб.
Ответ: 494.
В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1000 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей будет стоить товар на девятый день после поступления в продажу?
Ре-ше-ние:
Как из-вест-но, в не-де-ле 7 дней. Зна-чит, 12 день вы-па-да-ет на вто-рую не-де-лю, когда цена сни-жа-ет-ся на 20%, таким об-ра-зом, товар будет сто-ить 80%. Имеем:
1000· 80:100=800
Ответ: 800.
В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 30%, во второй - на 50%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 700 р.?
Ре-ше-ние:
В пер-вый раз цена упала на 700 · 30:100 = 210 руб. Зна-чит, после пер-во-го по-ни-же-ния цен чай-ник стал сто-ить 700 − 210 = 490 руб. Во вто-рой раз цена упала на 490 · 45:100 = 220,5 руб. Зна-чит, после вто-ро-го по-ни-же-ния цен чай-ник стал сто-ить 490 - 220,5 = 269,5 руб.
Ответ: 269,5.
При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Николай хочет положить на счёт своего мобильного телефона не меньше 320 рублей. Какую минимальную сумму он должен положить в приемное устройство данного терминала?
Ре-ше-ние:
С уче-том ко-мис-сии, Аня долж-на вне-сти в при-ем-ное устрой-ство сумму не менее 300 + 300 · 0,05 = 315 руб-лей. Зна-чит, ми-ни-маль-ная сумма, ко-то-рую долж-на по-ло-жить Аня в при-ем-ное устрой-ство дан-но-го тер-ми-на-ла — 320 руб-лей. Про-ве-рим, что этой суммы до-ста-точ-но: 5% от нее со-став-ля-ют 16 руб. (это ко-мис-сия), остав-ши-е-ся 304 рубля пой-дут на счет те-ле-фо-на.
Ответ: 320.
Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000 рублей. На сколько процентов была снижена цена?
Ре-ше-ние:
Цену на те-ле-фон сни-зи-ли на 5000 − 3000 = 2000 руб-лей. Раз-де-лим 2000 на 5000:
Зна-чит, цену сни-зи-ли на 40%.
На покупку планшета взяли кредит 20000 р на 1 год под 16 % годовых. Вычислите, сколько денег необходимо вернуть банку, какова ежемесячная сумма выплат?
Решение:
20000· 16:100 = 3200 (руб.) - один год
20000 + 3200 = 23200 (руб.) - полная сумма с процентами
23200:12= 1933 (руб.) - ежемесячная сумма выплат
Ответ: 1933 рубля.
Пачка чая стоила 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит пачка чая?
Так как цену повысили на 10%, значит нужно умножить первоначальную цену на 1,1 и при понижении на 10% нужно умножить на 0,9,
100·(1+0,1) ·(1-0,1) =99 руб.
Ответ: 99 рублей.
В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?
Ре-ше-ние:
В ок-тяб-ре ви-но-град по-до-ро-жал на 60 · 25:100 = 15 руб-лей и стал сто-ить 60 + 15 = 75 руб-лей. В но-яб-ре ви-но-град по-до-ро-жал на 75 · 20:100 = 15 руб-лей. Зна-чит, после по-до-ро-жа-ния в но-яб-ре 1 кг ви-но-гра-да стоил 75 + 15 = 90 руб-лей.
В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?
Ре-ше-ние:
Уче-ни-ков на-чаль-ной школы 800 · 30:100 = 240, а уче-ни-ков сред-ней и стар-шей школы - 800 − 240 = 560. Зна-чит, не-мец-кий язык в школе изу-ча-ют 560 · 20:100 = 112 уче-ни-ков.
Задачи "на проценты" впервые появляются в жизни юных математиков в 5 классе и сопровождают их до выпускных экзаменов. Связанные с процентами задания есть в вариантах ЕГЭ (в частности, задание №17 профильного экзамена) и ОГЭ. Проценты неминуемо встретятся в курсах физики, химии, экономики. В конце концов, в повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с этим понятием (вспомните, например, ставки по кредитам или щедрые обещания 90%-ных скидок в магазинах).
В данной статье мы начнем с простейших определений и примеров, будем постепенно увеличивать уровень сложности и к 4-й части доберемся до достаточно трудных задач.
Проценты. Начальные сведения.
Как найти процент от числа
Удивительно, но многие выпускники не могут вразумительно объяснить, что такое процент . А ведь все очень просто:
Процент - это сотая часть числа.
Почему именно сотая? Да просто потому, что на 100 удобно делить и сотня - это не слишком много и не слишком мало (не очень строгое определение).
Чтобы найти 1% от числа, нужно просто разделить это число на 100.
Пример 1 . Найти 1% от 1200, 1% от 2, 1% от 98765.
1% от 1200 - это 12, т. к. 1200:100 = 12;
1% от 2 - это 0,02, т. к. 2:100 = 0,02;
1% от 98765 = 98765:100 = 987,65.
Задание 1 . Вычислите 1% от 450, 1% от 12000, 1% от 9.
Задание 2 . Вычислите 1% от 1% от 6700.
Как найти несколько процентов от числа
Теперь предположим, что нам необходимо найти не 1% от числа, а, скажем, 12%. Как это сделать? Можно, конечно, сначала найти один процент, а потом полученный результат умножить на 12. Но зачем выполнять два действия, если можно обойтись одним? Один процент - это одна сотая, а t процентов - это t сотых. Чтобы найти, например, 12 сотых от числа, нужно число умножить на 0,12. Получаем универсальное правило:
Чтобы найти t% от числа, нужно умножить это число на
t
100
.
t процентов от A
= A ⋅
t
100
Пример 2 . Найти 17% от 300, 86% от 20, 140% от 2, 0.1% от 4000.
17% от 300 - это 51, т. к. 300*0,17 = 51 (умножаем число на семнадцать сотых);
86% от 20 - это 17,2, т. к. 20*0,86 = 17,2 (умножаем на 86/100);
140% от 2 = 2*1,4 = 2,8 (1,4 - это просто 140/100);
0.1% от 4000 = 0.001*4000 = 4 (0.001 - это 0.1/100).
Задание 3 . Вычислите 14% от 1200, 57% от 50, 250% от 4, 0.02% от 1000000.
Пример 3 . Вычислите 18% от 80% от 1000. Правда ли, что это то же самое, что 98% от 1000?
Найдем сначала 80% от 1000: 1000*0,8 = 800.
От полученного числа ищем 18%: 800*0,18 = 144.
Найдем теперь 98% от 1000. Умножаем 1000 на 98/100 и получаем 980.
Как видим, результаты получились разными.
Задание 4 . Вычислите 120% от 40% от 350.
Как найти "проценты от процентов"
А если нам нужно вычислять длинную последовательность "процентов от процентов"? Скажем, 10% от 10% от 10% от 10% от 200. Можно, конечно, действовать последовательно и разбить задачу на 4 действия, но есть способ проще.
Пример 4 . Вычислите 20% от 30% от 40% от 10000.
Зачем выполнять несколько последовательных умножений, если все можно свести к одной строке:
0,2*0,3*0,4*10000 = 24.
Видите, как все просто! Кстати, никакие скобки в данном случае не нужны.
Задание 5 . Вычислите 50% от 50% от 40% от 2000.
Задание 6 . В первую неделю января выпало 40% месячной нормы снега (90 мм), причем 90% этого количества пришлось на среду, причем в первой половине этого дня выпало 70% осадков. Сколько мм снега выпало в первой половине дня в среду?
Итак, подведем некоторые итоги:
- Процент - это сотая часть числа.
- Для вычисления 1% следует разделить число на 100 (или умножить на 0,01).
- Чтобы найти t% от числа, нужно умножить число на t сотых.
Небольшой тест на тему "Проценты"
Потратьте пару минут, пройдите небольшой тест по теме "Проценты". В ответе указывайте целое число или десятичную дробь. В качестве разделителя десятичных разрядов всегда используйте запятую (например, 1,2, но не 1.2!) Успехов!